Calcula áreas de polígonos con el teorema de Pick




Si el teorema de los 4 colores te pareció interesante, el torema de Pick te va a encantar porque sirve para calcular áreas de polígonos simples de forma sorprendentemente rápida y sencilla. Para que se pueda aplicar, los polígonos han de cumplir una condición: las coordenadas de sus vértices tienen que ser números enteros, es decir, los vértices deben yacer sobre los nodos de una malla cuadriculada.

Polígonos con los que se puede usar el teorema

El polígono del centro es perfecto para usar el teorema de Pick. Si se quiere utilizar para calcular el área de un polígono compuesto, habrá que descomponerlo en polígonos simples (siempre que sus vértices caigan sobre nodos).

Materiales:

  • Papel cuadriculado.
  • Lápices de colores o similar.
  • Regla.



Procedimiento:

  • Traza algunos polígonos simples de forma que sus vértices estén sobre los nodos de las cuadrículas. Empieza dibujando cuadrados, rectángulos, triángulos, es decir, figuras cuya superficie se calcule fácilmente contando cuadraditos.
  • Marca con un color los nodos que queden encerrados dentro del polígono. Los llamaremos nodos interiores.
  • Señala con otro color los nodos que coincidan con el perímetro del polígono. Estos serán los nodos frontera.

Trazando polígonos

  • Cuenta ambos nodos.
  • Usa la fórmula de Pick para calcular el área:

A=i+b2– 1

i es el número de nodos interiores, mientras que b es el número de nodos frontera.

Aplicando el teorema de Pick

El resultado viene dado en unidades cuadradas. Es decir, si con la fórmula se obtiene el número 6, significa que el polígono está formado por 6 cuadraditos. Si cada uno tiene una superficie de, por ejemplo, 1 cm², entonces el área del polígono será 6 cm².

  • Una vez que has comprobado que el teorema de Pick funciona, prueba a calcular áreas de figuras más complicadas.

Comprobando el teorema de Pick


Georg Alexander Pick (1859-1942) fue un matemático austriaco muy prolífico. Aunque debe su fama a este curioso teorema, contribuyó al desarrollo de prácticamente todos los campos de las matemáticas. Trabajó con Einstein en la Universidad Carolina de Praga y además mantuvo con él una estrecha amistad.

Por su ascendencia judía, cuando los Nazis tomaron Praga fue enviado al campo de concentración de Theresienstadt, donde murió tan solo dos semanas después.

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